Question

設(shè)曲線在點(diǎn)A(x,)處的切線斜率為k(x),且k (－1)=0.對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式xk (x)恒成立(≠0).

(1) 求(1)的值;

(2) 求函數(shù)k(x)的表達(dá)式;

(3) 求證:＞

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由，所以   。。。。。。。3分

（2），由，

得                   。。。。。。。4分

又恒成立，則由恒成立得

，同理由恒成立也可得:  綜上，，所以    。。。。。。。6分

（3）           。。。。。。。7分

要證原不等式，即證

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810541933553113/SYS201209081054558097162740_DA.files/image016.png">                    。。。。。。。8分

所以=

所以                           。。。。。。。10分

本小問也可用數(shù)學(xué)歸納法求證。證明如下：

由

1、 當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=，左邊>右邊，所以，不等式成立。。。。。。。7分

2、 假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即

 當(dāng)時(shí)，

左邊=

由

所以               。。。。。。。9分

即當(dāng)時(shí)，不等式也成立綜上得 。。。。。。。10分

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解切線方程，以及證明不等是的 綜合運(yùn)用。

（1）由，所以

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810541933553113/SYS201209081054558097162740_DA.files/image003.png">，由，

得 

又恒成立，則由恒成立得到。

（3）要證原不等式，即證

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810541933553113/SYS201209081054558097162740_DA.files/image016.png">

所以=

所以得到結(jié)論。