Question

【題目】已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，且．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)上述的取值范圍為，若存在，使對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析：(1)注意函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導(dǎo),令，則，根據(jù)方程有兩個不等正根，求出的范圍；(2)求出函數(shù)在上的單調(diào)性,并求出最大值,已知恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè)，則的最小值大于即可,討論函數(shù)的單調(diào)性,求出的范圍.

試題解析：（1），

令，則，

根據(jù)題意，方程有兩個不等正根，則即

解得，

故實數(shù)的取值范圍是．

（2）由，得．

即或，

所以在和上是增函數(shù)，

因為，則，所以在上是增函數(shù)，

當(dāng)時，

．

由題意，當(dāng)時，恒成立，即

，即恒成立，

設(shè)，

則．

（1）當(dāng)時，因為，則，所以在上是減函數(shù)，

此時，，不合題意．

（2）當(dāng)時，若，即，因為，則，，

所以在上是增函數(shù)，此時，符合題意．

若，即，則，

當(dāng)時，，則，所以在上是減函數(shù)，

此時，，不合題意．

綜上可知，的取值范圍是．