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已知f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，α∈（0，π） 且f（
π
2
=
3
-2）．
（1）求α；
（2）當x∈[
π
2
，π]時，求函數y=f（x+α）的值域．
分析：題干錯誤：且f（
π
2
=
3
-2）．  應該是：且f（
π
2
）=
3
-2．
（1）根據f（x）的解析式可得f（
π
2
）=
3
-
4
3
3
tanα•
1
2
=
3
-2，求得tanα=
3
，結合 α∈（0，π），求得 α 的值．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x-
π
6
）-2，可得函數y=f（x+α）=f（x+
π
3
）=2sin（x+
π
3
-
π
6
）-2=2sin（x+
π
6
）-2．再由
π
2
≤x≤π，根據正弦函數的定義域和值域，求得
函數y=f（x+α）的值域．
解答：解：（1）因為f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，∴f（
π
2
）=2sin（
π
2
+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
π
4
=
3
-
4
3
3
tanα•
1
2
=
3
-2，
所以，tanα=
3
，又 α∈（0，π），故 α=
π
3
．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
=2sin（x+
π
6
）-4cos2
x
2
=
3
sinx+cosx-2（1+cosx）=2（
3
2
sinx-
1
2
cosx）-2=2sin（x-
π
6
）-2，
所以，y=f（x+α）=f（x+
π
3
）=2sin（x+
π
3
-
π
6
）-2=2sin（x+
π
6
）-2．
因為
π
2
≤x≤π，所以
2π
3
≤x+
π
6
≤
7π
6
，∴-
1
2
≤sin（x+
π
6
）≤
3
2
，∴-3≤2sin（x-
π
6
）-2≤
3
-2，
因此，函數y=f（x+α）的值域為[-3，
3
-2]．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=2sin（2x-
π
6
）-m在x∈[0，
π
2
]上有兩個不同的零點，則m的取值范圍為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a+1（a為常數）．
（1）求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，
π
2
]時，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值時x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•孝感模擬）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，則f（x）的表達式為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
，若0≤θ≤π，使函數f（x）為偶函數的θ為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•東莞二模）已知f（x）=2sin（
π
3
x+
π
6
），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素從小到大依次排成一行，得到數列{an}（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設數列{bn}滿足：b1=1，bn+1=bn+a2n，求{bn}的通項公式．

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