Question

已知函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，現(xiàn)有四個命題：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為2π；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)；（3）函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=0對稱；（4）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．其中真命題的個數(shù)是（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：借助正弦函數(shù)y=sinx的周期性，單調(diào)性，對稱性，奇偶性分別求函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)的周期，單調(diào)增區(qū)間，對稱軸，奇偶性，再與4個命題逐一對比，即可得到真命題個數(shù)．

解答：解：函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，的最小正周期T=

2π

1

=2π，∴（1）正確．
當-

π

2

+2kπ＜x-

π

2

＜

π

2

+2kπ，k∈π時，即2kπ＜x＜π+2kπ，k∈z，函數(shù)為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)，（2）正確．
當x-

π

2

=

π

2

+kπ，k∈z，即x=π+kπ為函數(shù)的對稱軸，∴函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=0對稱．（3）正確．
∵函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)圖象相當于函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

2

個單位，∴圖象關于y軸對稱，為偶函數(shù)．∴（4）錯誤．
∴真命題的個數(shù)是3個．
故選C

點評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期性，單調(diào)性，對稱性，奇偶性的判斷，屬于三角函數(shù)的常規(guī)題．