Question

已知定點(diǎn)A（1，0），定直線l：x=5，動點(diǎn)M（x，y）
（Ⅰ）若M到點(diǎn)A的距離與M到直線l的距離之比為

5

5

，試求M的軌跡曲線C₁的方程．
（Ⅱ）若曲線C₂是以C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且以C₁的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，試求曲線C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=5的距離，由題意得：

(x-1)2+y2

|5-x|

=

5

5

，由此能求出M的軌跡曲線C₁的方程．
（Ⅱ）由題意可知曲線C₂是雙曲線，設(shè)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1因?yàn)闄E圓

x2

5

+

y2

4

=1的頂點(diǎn)是（(±

5

，0)，焦點(diǎn)是（±1，0）所以雙曲線的頂點(diǎn)是（±1，0），焦點(diǎn)是(±

5

，0)，由此能求出曲線C₂的方程．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=5的距離，由題意得：

(x-1)2+y2

|5-x|

=

5

5

將上式兩邊平方，并化簡，得

4

5

x2+y2=4
即M的軌跡曲線C₁的方程是橢圓：

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由題意可知曲線C₂是雙曲線，設(shè)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
因?yàn)闄E圓

x2

5

+

y2

4

=1的頂點(diǎn)是（(±

5

，0)，焦點(diǎn)是（±1，0）
所以雙曲線的頂點(diǎn)是（±1，0），焦點(diǎn)是(±

5

，0)
于是a=1，c=

5

所以 b²=c²-a²=5-1=4
所以曲線C₂的方程是x2-

y2

4

=1

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，具體涉及到橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．