Question

（本小題滿分14分）根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出a，b的值依次分別記為a₁，a₂， ，a_n， ，a₂₀₀₈；b₁，b₂， ，b_n， ，b₂₀₀₈．

（Ⅰ）求數(shù)列 { a_n } 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）寫出b₁，b₂，b₃，b₄，由此猜想{ b_n }的通項(xiàng)公式，并證明你的證明；
（Ⅲ）在 a_k 與 a_k＋1 中插入b_k＋1個(gè)3得到一個(gè)新數(shù)列 { c_n } ，設(shè)數(shù)列 { c_n }的前n項(xiàng)和為S_n，問(wèn)是否存在這樣的正整數(shù)m，使數(shù)列{ c_n }的前m項(xiàng)的和，如果存在，求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）a_n＝n；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)程序框圖的功能易得{ a_n } 的通項(xiàng)公式為a_n＝n；（Ⅱ）由b₁＝0，b₂＝2，b₃＝8，b₄＝26，可猜想然后利用b_n＋1＋1＝3（b_n＋1）即可證明；（Ⅲ）數(shù)列中，項(xiàng)（含）前的所有項(xiàng)的和是，當(dāng)時(shí)，其和是，當(dāng)時(shí)，其和是，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/35/80d35d93d088332bc7cc0e3d86c57a37.png" style="vertical-align:middle;" />，是3的倍數(shù)，故存在這樣的，
試題解析：（Ⅰ）a₁＝1，a_n＋1 ＝a_n＋1，∴{ a_n }是公差為1的等差數(shù)列．∴a_n＝n．3分
（Ⅱ）b₁＝0，b₂＝2，b₃＝8，b₄＝26，
猜想．證明如下：b_n＋1 ＝3b_n＋2，b_n＋1＋1＝3（b_n＋1），
∴{ b_n＋1}是公比為3的等比數(shù)列．∴．則．7分
（Ⅲ）數(shù)列中，項(xiàng)（含）前的所有項(xiàng)的和是
，
估算知，當(dāng)時(shí)，其和是，當(dāng)時(shí)，其和是，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/35/80d35d93d088332bc7cc0e3d86c57a37.png" style="vertical-align:middle;" />，是3的倍數(shù)，
故存在這樣的，使得，此時(shí)．14分
考點(diǎn)：數(shù)列與程序框圖的綜合應(yīng)用