Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當m=1時，判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無實根．
（Ⅲ）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）m=2時，，，切點坐標為（1，0），∴切線方程為y=4x-4；
（Ⅱ）m=1時，令，，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又h（1）=0，所以f（x）=g（x）在（1，+∞）內無實數(shù)根；
（Ⅲ）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即恒成立，也就是m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當x∈（1，e]時，恒成立，
令，只需m小于G（x）的最小值，
由=，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當x∈（1，e]時G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上單調遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為，
則m的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1時函數(shù)的導數(shù)，由點斜式寫出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）代入m的值，把判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無實根轉化為判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上有無零點問題，求導后利用函數(shù)的單調性即可得到答案；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理變形后把參數(shù)m分離出來，x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，轉化為實數(shù)m小于一個函數(shù)在（1，e]上的最小值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)在（1，e]上的最小值．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了函數(shù)零點的判斷方法，考查了數(shù)學轉化思想，訓練了利用分離變量法解決恒成立的問題，數(shù)學轉化思想是該題的精髓所在，屬中高檔題．