Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）兩點(diǎn)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，3），交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓，由引能夠求出橢圓的方程．
（Ⅱ）方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可知A為MB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合題設(shè)條件能夠求出直線l的方程．
方法二：依題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+3．由得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得．再由根與系數(shù)的關(guān)系能夠求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得＞|F₁F₂|=4，
故曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓，其方程為．
（Ⅱ）方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可知A為MB的中點(diǎn)，
則有
將（3）、（4）代入（2）得，整理為．
將（1）代入上式得y₁=2，再代入橢圓方程解得，
故所求的直線方程為．
方法二：依題意，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+3．
由得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，①．②
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221124178830829/SYS201311012211241788308018_DA/13.png">，所以A為MB的中點(diǎn)，從而x₂=2x₁．
將x₂=2x₁代入①、②，得，，
消去x₁得，
解得，．
所以直線l的方程為．
點(diǎn)評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意培養(yǎng)計(jì)算能力的、分析能力和解題能力．