Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3），且f（1）=2，則f（2009）的值為（　�。�

A．0

B．-2

C．2

D．2009

Answer 1

分析：根據(jù)已知等式取x=-3，得到f（3）=f（-3）+f（3）．再利用原函數(shù)為偶函數(shù)得到f（3）=f（-3）=0，代入已知等式得到f（x+6）=f（x）說明函數(shù)的周期為6，最后利用這個周期得到f（2009）=f（-1）=f（1）=2．

解答：解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），對任意x∈R成立，
∴令x=-3，則f（3）=f（-3）+f（3），
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（3）=f（-3）=0．
∴代入已知條件，得：f（x+6）=f（x），
∴f（2009）=f（-1+6×335）
=f（-1）=f（1）=2
故選C．

點評：本題以一個抽象函數(shù)為例，考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和函數(shù)求值等知識點，屬于基礎題．賦值法，是解決此類問題的常用方法．