Question

17．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如表，

x	-1	0	4
f（x）	1	2	2

f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象（該圖象關(guān)于（2，0）中心對(duì)稱） 如圖所示．
下列關(guān)于f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為 0與4；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）-a零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)；
④如果當(dāng)時(shí)x∈[-1，t]，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5；．
⑤函數(shù)f（x）的圖象在[2，4]是上凸的
其中一定正確命題的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 ①，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值，可判斷真假；
②，根據(jù)已知導(dǎo)函數(shù)的圖象，易分析出f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷③的真假；，；
③，由導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可知函數(shù)f（x）的大致圖象如圖，函數(shù)y=f（x）與直線y=a的圖象有四個(gè)交點(diǎn)可能為0、1、2、4個(gè)，可判斷真假；
④，根據(jù)已知導(dǎo)函數(shù)的圖象，及表中幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，易分析出0≤t≤5，均能保證x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，進(jìn)而判斷③的真假；
⑤，根據(jù)函數(shù)f（x）的大致圖象，判斷

解答 ①②④解：對(duì)于①，∵由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為0與4，故①正確；
對(duì)于②，由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數(shù)，即②正確；
對(duì)于③，由導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可知，函數(shù)在[-1，0]，[2，4]上為增函數(shù)，
則[0，2]，[4，5]上為減函數(shù)，且函數(shù)在x=0和x=4取得極大值f（0）=2，f（4）=2，
在x=2取得極小值f（2）=0，則函數(shù)f（x）的大致圖象如圖：則函數(shù)y=f（x）與直線y=a的圖象有四個(gè)交點(diǎn)可能為0、1、2、4個(gè)，即③錯(cuò)誤
對(duì)于④，由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時(shí)，函數(shù)取最大值2，若x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即④正確；
對(duì)于⑤，根據(jù)函數(shù)f（x）的大致圖象，判斷⑤錯(cuò)誤；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知，分析出函數(shù)的大致形狀，利用圖象分析函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．