Question

已知數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n滿足條件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列a_n成等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列b_n滿足b_n=log₃a_n．若 tn=

1

bnbn+1

，求數(shù)列t_n的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）和題中條件求出a_n和a_n-1的關(guān)系即可證得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）先由（1）的結(jié)論求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再代入求出數(shù)列{t_n}的通項(xiàng)公式，最后用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{t_n}的前n項(xiàng)和即可．

解答：解：（1）由題得an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-an-1)(n≥2)（2分）
所以a_n=3a_n-1故有

an

an-1

=3(n≥2)（4分）
又S1=

3

2

(a1-1)=a1，解得a₁=3，
所以數(shù)列a_n成等比數(shù)列（6分）
（2）由（1）得a_n=3ⁿ，則b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n（8分）
故有tn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

所以t1+t2+t3++tn=

1

1•2

+

1

2•3

+

1

3•4

+

1

n(n+1)

（10分）
=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)（14分）
=

n

n+1

（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法有：公式法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和等．