Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，棱長為2．下面結論中正確的結論是

 

．（把你認為正確的結論都填上，填序號）
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③過點A₁與異面直線AD和CB₁成90°角的直線有2條；
④三棱錐B-ACD₁的體積

4

3

．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：根據(jù)直線和平面平行、直線和平面垂直的判定定理可得判斷①②的真假，根據(jù)異面直線所成的角可得③不正確，根據(jù)椎體的體積公式可得④正確，由此得到答案．

解答： 解：如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
①于BD∥B₁D₁，由直線和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁，故①正確．
②由正方體的性質可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁，故②正確．
③過點A₁與異面直線AD成90°角的直線必和BC也垂直
過點A₁與直線CB₁成90°角的直線必和CB₁垂直
則該直線必和平面B₁C₁CB垂直，滿足條件的只有直線A₁B₁，故③不正確．
④由于三棱錐B-ACD₁的體積V=

1

3

•S△ABC•DD1=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

，故④正確．
故答案為 ①②④

點評：本題主要考查求二面角的大小的方法，異面直線的判定，直線和平面平行、垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．