Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N₊）．
（1）求a₂、a₃、a₄的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 an+1=

2an

an+1

，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想an=

2n

2n-1

，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答：解：（1）由題得an+1=

2an

an+1

，又a₁=2，則a2=

2a1

a1+1

=

4

3

，a3=

2a2

a2+1

=

8

7

，
a4=

2a3

a3+1

=

16

15

…
（2）猜想an=

2n

2n-1

．             
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，

21

21-1

=2=a1，故命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即ak=

2k

2k-1

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

2ak

ak+1

=

2• 2k 2k-1

2k 2k-1 +1

=

2k+1

2k+2k-1

=

2k+1

2k+1-1

，
故命題也成立．                     
綜上，對(duì)一切n∈N₊都有an=

2n

2n-1

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．