Question

已知函數(shù)f（x）=x（lnx+m），g(x)=

a

3

x3+x．
（1）當(dāng)m=-2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m=

3

2

時，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于m=-2，則函數(shù)f（x）=x（lnx+m）=x（ln x-2），再對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

），列出不等式解出a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

恒成立，求出h(x)=

3(lnx+ 1 2 )

x2

的最大值方法是令其導(dǎo)函數(shù)為0求出x的值，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值．根據(jù)a大于等于h（x）的最大值，求出解集即可得到a的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=-2時，f（x）=x（ln x-2）=xln x-2x，
定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=ln x-1．…（2分）
由f′（x）＞0，得ln x-1＞0，所以x＞e．由f′（x）＜0，得ln x-1＜0，所以0＜x＜e．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（e，+∞），遞減區(qū)間是（0，e）．…（5分）
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

）（x＞0），
不等式g（x）≥f（x）即

a

3

x3+x≥x(ln x+

3

2

)恒成立．
由于x＞0，則

a

3

x2+1≥ln x+

3

2

，亦即

a

3

x2≥ln x+

1

2

，所以a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

．
令h(x)=

3(lnx+ 1 2 )

x2

，則h′(x)=

-6lnx

x3

，
由h′（x）=0得x=1，且當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．…（10分）
所以h（x）在x=1處取得極大值h（1）=

3

2

，也是h（x）在定義域上的最大值．
因此要使a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

恒成立，需有a≥

3

2

，故a的取值范圍為[

3

2

，+∞)．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．