Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₇=2a₄-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b1+4b2+9b3+…+n2bn=an求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為a₁，d，由題意可得關(guān)于它們的方程組，解方程組代入通項(xiàng)公式和求和公式可得；
（Ⅱ）由題意可得當(dāng)n≥2時(shí)，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1，和已知式子相減可得當(dāng)n≥2時(shí)的不等式，驗(yàn)證n=1時(shí)可得其通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為a₁，d，
則

a3=a1+2d=5 a7=a1+6d=2a4-1=2(a1+3d)-1

，解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²
（Ⅱ）∵b1+4b2+9b3+…+n2bn=an    ①
當(dāng)n≥2時(shí)，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1    ②
①-②得n²b_n=a_n-a_n-1=2，n≥2，
∴bn=

2

n2

，n≥2，又∵b₁=a₁=1，
∴bn=

1，n=1 2 n2 ，n≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題．