Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明f（x）的單調(diào)性，并求其值域；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，=，…
當(dāng)，
∵1≤x₁＜x₂，∴，恒成立
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得最小值為，
∴f（x）的值域為．
（Ⅱ），
∵對任意，恒成立
∴只需對任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立．
設(shè)g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的對稱軸為x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．
分析：（I）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)1≤x₁＜x₂，利用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而證明函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)，再利用單調(diào)性求函數(shù)最值即可；
（II）根據(jù)題意：“對任意恒成立”轉(zhuǎn)化為“只需對任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立”．再設(shè)g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，即可得到實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法和步驟，作差法比較大小，代數(shù)變形能力，屬中檔題．