Question

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）已知，是曲線上的兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）;

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)提議可知，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則，又，則，設(shè)，可得點(diǎn)的軌跡方程為.

（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為，由題意可知的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將其代入橢圓方程整理可得，設(shè)，則，故；對(duì)進(jìn)行討論（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

由，得，故則，因?yàn)?/span>在橢圓上，故

化簡(jiǎn)，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯(lián)立①②兩式及，得，故且綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：（Ⅰ）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則，又，

則，故可得點(diǎn)的軌跡方程為.

（Ⅱ）令經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為，則的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

將其代入橢圓方程整理可得

設(shè)，則，故

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

由，得，故

則，因?yàn)?/span>在橢圓上，故

化簡(jiǎn)，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯(lián)立①②兩式及，得，故且

綜上（1）（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.