Question

【題目】已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，拋物線的準線與軸交于，于點，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線于兩點，且，點為線段的垂直平分線與軸的交點，則點的橫坐標的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根據(jù)拋物線的性質(zhì)和四邊形AA1CF的面積為，求出p的值，再設(shè)M，N的坐標，運用向量的坐標運算，設(shè)直線l：x=my﹣1，并代入到y(tǒng)2=4x中，運用韋達定理，可得m和λ，運用對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得4m2的范圍，求出MN的垂直平分線方程，令y=0，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

過B作BB1⊥l于B1，設(shè)直線AB與l交點為D，

由拋物線的性質(zhì)可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，

設(shè)BD=m，BF=n，則===，

即=，

∴m=2n．

又=，∴==，∴n=，

∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，

又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，

∴A1C=p，

∴直角梯形AA1CF的面積為（2p+p）p=6，

解得p=2，

∴y2=4x，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

∵=λ，

∴y1=λy2，

設(shè)直線l：x=my﹣1代入到y(tǒng)2=4x中得y2﹣4my+4=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=4，

∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m﹣2，

由①②可得4m2==λ++2，

由1＜λ≤2可得y=λ++2遞增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，

又MN中點（2m2﹣1，2m），

∴直線MN的垂直平分線的方程為y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），

令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，

故選：A．