在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.

    （1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成

的三角形的面積；（4分）

    （2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：

OP⊥OQ；（6分）

    （3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OM⊥ON，

求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）

 

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）定值為.

【解析】[解]（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：.

         過點A與漸近線平行的直線方程為，即.

         解方程組，得.                      ……2分

         所以所求三角形的面積1為.              ……4分

    （2）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，

         故，即.                                      ……6分

         由，得.

         設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則.

         又，所以

        

，故OP⊥OQ.        ……10分

    （3）當(dāng)直線ON垂直于x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為.

      當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為.

         由，得，所以.

同理.                                       ……13分

         設(shè)O到直線MN的距離為d，因為，

         所以，即d=.

         綜上，O到直線MN的距離是定值.                         ……16分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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