Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q（q∈R，q≠1）的等比數(shù)列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{c_n}對任意自然數(shù)n均有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，可由a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即 d²-（d-2）²=2d，解得 d的值，從而寫出{a_n}的通項公式；同理，解得q的值，從而寫出{b_n}的通項公式．
（Ⅱ） 由題設知 ，∴c₁=a₂b₁=2．
當n≥2時，，
，
兩式相減，得．
∴c_n=2nb_n=2n•3^n-1（c₁=b₁a₂=2適合）．
再利用錯位相消法計算化簡得出c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值
解答：解：（Ⅰ）由于數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
∴a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d；即 d²-（d-2）²=2d，解得 d=2．
∴a₁=f（2-1）=0，a_n=2（n-1）；
由于{b_n}是公比為q（q∈R，q≠1）的等比數(shù)列
∴，∴；
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b₁=f（q-1）=1，∴b_n=3^n-1
（Ⅱ） 由題設知 ，∴c₁=a₂b₁=2；
當n≥2時，，
，
兩式相減，得；
∴c_n=2nb_n=2n•3^n-1（c₁=b₁a₂=2適合）．
設T=c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1，
∴T=2+6×3²+10×3⁴+…+（4n-2）•3^2n-23²T
=2×3²+6×3⁴+10×3⁶+…+（4n-6）•3^2n-2+（4n-2）•3²ⁿ
兩式相減，得-8T=2+4×3²+4×3⁴+…+4×3^2n-2-（4n-2）•3²ⁿ
=
=
=．
∴．
點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式、錯位相消法求和．考查構造轉化、計算能力．