Question

（2009•嘉定區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x|x-1|-1．
（1）求滿(mǎn)足f（x）=x的x值；
（2）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）解不等式f（x）＜0（結(jié)果用區(qū)間表示）．

Answer 1

分析：（1）討論x的范圍，將絕對(duì)值去掉得到分段函數(shù)，然后求解方程f（x）=x，即可求出滿(mǎn)足條件的x；
（2）分段研究該函數(shù)的單調(diào)性，從而求出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，解不等式x²-x-1＜0，當(dāng)x＜1時(shí)，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立，從而求出滿(mǎn)足條件的x的范圍．

解答：解：（1）f(x)=x|x-1|-1=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，…（1分）
所以，當(dāng)x≥1時(shí)，由f（x）=x得x²-x-1=x，x²-2x-1=0，解得x=1±

2

，
因?yàn)閤≥1，所以x=1+

2

．…（2分）
當(dāng)x＜1時(shí)，由f（x）=x得-x²+x-1=x，x²=-1，無(wú)實(shí)數(shù)解．…（3分）
所以，滿(mǎn)足f（x）=x的x值為1+

2

．…（4分）
（2）由f(x)=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞）；…（6分）
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

1

2

]．…（8分）
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，

1

2

]和[1，+∞）．…（9分）
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，由x²-x-1＜0得1≤x＜

1+ 5

2

，…（12分）
當(dāng)x＜1時(shí)，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立．…（15分）
所以，不等式f（x）＜0的解集為(-∞， 

1+ 5

2

)．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了含絕對(duì)值的函數(shù)的單調(diào)性以及解方程，同時(shí)考查了分段討論的思想，屬于中檔題．