Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90^o，AB=AC=a，AA₁=b，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB₁，CC₁上，且BE=

1

3

BB1，C1F=

1

3

CC1．設(shè)λ=

b

a

．
（1）當(dāng)λ=3時(shí)，求異面直線AE與A₁F所成角的大��；
（2）當(dāng)平面AEF⊥平面A₁EF時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）本題適合建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個(gè)立體幾何問(wèn)題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，求異面直線AE與A₁F的方向向量，利用利用夾角公式求異面直線AE與A₁F所成角的余弦值即可．
（2）分別同平面AEF的法向量為和平面A₁EF的一個(gè)法向量．再根據(jù)平面AEF⊥平面A₁EF，得出向量的數(shù)量積為0，即可求解得λ的值．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
（1）設(shè)a=1，則AB=AC=1，AA₁=3，
各點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，0，0），E（1，0，1），
A₁（0，0，3），F(xiàn)（0，1，2）．

AE

=(1，0，1)，

A1F

=(0，1，-1)．
∵|

AE

|=|

A1F

|=

2

，

AE

•

A1F

=-1，
∴cos?

AE

，

A1F

?=

AE • A1F

| AE || A1F |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

．
∴向量

AE

和

A1F

所成的角為120^o，
∴異面直線AE與A₁F所成角為60°；（4分）

（2）∵E(a，0，

b

3

)，F(0，a，

2b

3

)，
∴

AE

=(a，0，

b

3

)，

AF

=(0，a，

2b

3

)．
設(shè)平面AEF的法向量為n₁（x，y，z），
則n1•

AE

=0，且n1•

AF

=0．
即ax+

bz

3

=0，且ay+

2bz

3

=0．
令z=1，則x=-

b

3a

，y=-

2b

3a

．
∴n1=(-

b

3a

，-

2b

3a

，1)=(-

λ

3

，-

2λ

3

，1)是平面AEF的一個(gè)法向量．（6分）
同理，n2=(

2b

3a

，

b

3a

，1)=(

2λ

3

，

λ

3

，1)是平面A₁EF的一個(gè)法向量．（8分）
∵平面AEF⊥平面A₁EF，∴n₁•n₂=0．∴-

2λ2

9

-

2λ2

9

+1=0．
解得，λ=

3

2

．
∴當(dāng)平面AEF⊥平面A₁EF時(shí)，λ=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查用空間向量為工具解決立體幾何問(wèn)題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量?jī)?nèi)積為0、共線等與立體幾何中線面、面面位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)，考查空間想象能力和思維能力．