已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，那么就稱 為與的“和諧函數(shù)”．設，求證：當時，在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個．

 

【答案】

（1）,的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是    

,單調(diào)遞增區(qū)間是  ,,單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是  

（2）作差構造新函數(shù)證明.

【解析】

試題分析：（1） ，常數(shù)）

令，則，                 

①當時，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是           

②當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是         

③當時，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是        

（2）令，

令，則，           

因為，所以，且

從而在區(qū)間上，，即在上單調(diào)遞減       

所以               

又，所以，即       

設（，則

所以在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個   

考點：類比推理；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)單調(diào)性的性質．

點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解，考查了利用已學知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．

 

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中常數(shù)），是奇函數(shù)。

    （Ⅰ）求的表達式；

  （Ⅱ）討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間上的最大值和最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)，其中常數(shù)ω＞0.

（1）令ω=1，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）令ω=2，將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖像.對任意a∈R，求y=g(x)在區(qū)間[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省莆田一中高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（其中常數(shù)a，b∈R），．
（Ⅰ）當a=1時，若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若a≠0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當時，求函數(shù)g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在滿足條件的實數(shù)a，使得對任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年上海市招生考試理科數(shù)學 題型：解答題

（12分）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足。

⑴ 若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

⑵ 若，求時的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江蘇省泰興市高三上學期第一次檢測文科數(shù)學試題 題型：解答題

（16分）已知函數(shù)（其中常數(shù)），是奇函數(shù)。

（1）求的表達式；

（2）討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間上的最大值和最小值。

 

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