Question

20．已知函數(shù)f（x）=bsinx-ax²+2a-eb，g（x）=e^x，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時，討論函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的單調(diào)性；
（2）求證：對任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在b∈（-∞，1]，使得f（x）在區(qū)間[0，+∞）上恒有f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到sinx+cosx-e＜0，從而求出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明任意x∈[0，+∞），six-ax²+2a-e＜0，設(shè)g（a）=sinx-ax²+2a-e=（-x²+2）a+sinx-e，看作以a為變量的一次函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=e^x（sinx-e），
則f′（x）=e^x（sinx-e+cosx），
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜e，
∴sinx+cosx-e＜0，
故f′（x）＜0，
則f（x）在R遞減；
（2）證明：當(dāng)x≥0時，y=e^x≥1，
要證明對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0，
則只需證明任意x∈[0，+∞），six-ax²+2a-e＜0，
設(shè)g（a）=sinx-ax²+2a-e=（-x²+2）a+sinx-e，
看作以a為變量的一次函數(shù)，
要使sinx-ax²+2a-e＜0，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＜0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx-{\frac{1}{2}x}^{2}+1-e＜0①}\\{sinx{-x}^{2}+2-e＜0②}\end{array}\right.$，
∵sinx+1-e＜0恒成立，
∴①恒成立，
對于②，令h（x）=sinx-x²+2-e，
則h′（x）=cosx-2x，
設(shè)x=t時，h′（x）=0，即cost-2t=0，
∴t=$\frac{cost}{2}$＜$\frac{1}{2}$，sint＜sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）遞增，
在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）遞減，
則x=t時，h（x）取得最大值h（t）=sint-t²+2-e
=sint-${（\frac{cost}{2}）}^{2}$+2-e=${（\frac{sint}{2}+1）}^{2}$+$\frac{3}{4}$-e≤${（\frac{5}{4}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$-e=$\frac{27}{16}$-e＜0，
故②成立，
綜上，在區(qū)間[0，+∞）上恒有f（x）＜0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．