Question

8．已知不恒為0的函數f（x）滿足f（x+2）•f（x）=1，且當x∈[0，4）時，f（x）=|x²-2x-1|，若函數g（x）=f（x）-m在[-4，5]上恰有7個零點，則實數m的取值范圍為[1，2）．

Answer 1

分析 根據函數性質求出f（x）的周期，作出f（x）的函數圖象，根據圖象得出m的范圍．

解答 解：∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x-2）•f（x）=1，
∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，f（x-2）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=f（x-2），
∴f（x）的周期為4．
令g（x）=0得f（x）=m，作出f（x）在[-4，5]的函數圖象如圖所示：

由圖象可知當1≤m＜2時，f（x）=m在[-4，5]上有7個零點，
故答案為：[1，2）．

點評 本題考查了函數的周期性，函數的零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．