Question

已知函數(shù)f（x）= 
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）如果當x≥1時，不等式f（x）≥恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）求證[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2  （n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出其極值；
（2）不等式f（x）≥，即為，令g（x）=，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)即可求得；
（3）利用（2）問結(jié)論可得一不等式，在該不等式中令x=n（n+1），然后由此不等式進行放縮，累加各不等式可證明不等式．
解答：解：（1）因為f（x）=，x＞0，則f′（x）=-，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值f（1）=1，無極小值．
（2）不等式f（x）≥，即為，
記g（x）=，則g′（x）=，
令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，從而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，
所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，2]．
（3）由（2）知：f（x）≥恒成立，即lnx≥=1-＞1-，
令x=n（n+1），則ln[n（n+1）]＞1-，
所以ln（1×2）＞1-，ln（2×3）＞1-，ln（3×4）＞1-，…，ln[n（n+1）]＞1-，
疊加得：ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[++…+]=n-2（1-）＞n-2+＞n-2．
則1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2（n∈N^*）．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查恒成立問題，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值處理，證明不等式常用方法：一是利用函數(shù)最值；一是構(gòu)造函數(shù)．本題綜合性強，難度大．