Question

6．（1+2x）ⁿ（其中n∈N₊且n≥6）的展開式中x³與x⁴項的二項式系數(shù)相等，則系數(shù)最大項為672x⁵．

Answer 1

分析 （1+2x）ⁿ（其中n∈N₊且n≥6）的展開式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^r=2^r${∁}_{n}^{r}$x^r，又x³與x⁴項的二項式系數(shù)相等，可得${∁}_{n}^{3}$=${∁}_{n}^{4}$，解得n=7．由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{r+2}{∁}_{7}^{r+2}≤{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}}\\{{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}≥{2}^{r}{∁}_{7}^{r}}\end{array}\right.$，解得：r即可得出．

解答 解：（1+2x）ⁿ（其中n∈N₊且n≥6）的展開式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^r=2^r${∁}_{n}^{r}$x^r，
又x³與x⁴項的二項式系數(shù)相等，
∴${∁}_{n}^{3}$=${∁}_{n}^{4}$，
解得n=7．
∴T_r+1=2^r${∁}_{7}^{r}$x^r．
由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{r+2}{∁}_{7}^{r+2}≤{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}}\\{{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}≥{2}^{r}{∁}_{7}^{r}}\end{array}\right.$，解得：r=4．
則系數(shù)最大項為第5項．
T₅=${2}^{5}{∁}_{7}^{5}$x⁵=672x⁵．
故答案為：672x⁵．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．