Question

如圖，設(shè)共有一條對(duì)稱(chēng)軸PQ、一個(gè)頂點(diǎn)P和一個(gè)焦點(diǎn)F的2個(gè)橢圓 C₁，C₂，記2a_i、2b_i和2c_i分別表示
橢圓C_i（i=1，2）的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)、短軸的長(zhǎng)和焦距，給出下列判斷   
①a₁+c₁＞a₂+c₂ ②a₁-c₁＞a₂-c₂ ③    ④  ⑤．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，結(jié)合圖形可得a₁-c₁=a₂-c₂ ，且橢圓C₁的長(zhǎng)軸和焦距都比橢圓C₂要小，所以①②均不正確；根據(jù)a₁-c₁=a₂-c₂ ，且0＜a₁＜a₂，結(jié)合橢圓離心率的定義和平方關(guān)系，得且，可得③④均不正確；最后根據(jù)圖形結(jié)合橢圓通徑的求法，可得⑤正確．由此即可得到本題的答案．
解答：解：對(duì)于①，根據(jù)圖形可得橢圓C₁的長(zhǎng)軸和焦距都比橢圓C₂要小，得a₁+c₁＜a₂+c₂ ，故①不正確；
對(duì)于②，因?yàn)閮蓚�(gè)橢圓的焦點(diǎn)與較近頂點(diǎn)的距離相等，所以a₁-c₁=a₂-c₂ ，得②不正確；
對(duì)于③，因?yàn)閍₁-c₁=a₂-c₂ ，且0＜a₁＜a₂，故由不等式的性質(zhì)得，得③不正確；
對(duì)于④，由③得＜，平方化簡(jiǎn)得，故④不正確；
對(duì)于⑤，根據(jù)圖形得橢圓C₁的通徑（過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段）小于橢圓C₂的通徑，
所以，得成立，故⑤正確．
故答案為：⑤
點(diǎn)評(píng)：本題給出有公共a-c的兩個(gè)橢圓，求它們的離心率、通徑和短軸與長(zhǎng)軸比的大小關(guān)系，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．