已知矩形ABCD中,AB=6,BC=6,E為AD的中點(diǎn)沿BE將△ABE折起,使二面角A-BE-C為直二面角且F為AC的中點(diǎn).
(1)求證:FD∥平面ABE;
(2)求二面角E-AB-C的余弦值.

【答案】分析:(1)由題意可取AB中點(diǎn)為M,連接MF,ME,證明DF∥ME,再由線面平行的判定定理證明FD∥平面ABE即可;
(2)在矩形ABCD中,連接AC交BE于G,在圖二中作G′H⊥AB于H,連CH,可先由向量與垂直的對(duì)應(yīng)關(guān)系在平面矩形中先證明BE與AC垂直,由于翻折不改變此垂直關(guān)系,結(jié)合面面垂直與三垂線定理證明出角GHC是二面角E-AB-C的平面角,然后在相應(yīng)的三角形中求出其余弦值的大小即可得到所求的二面角.
解答:解:(1)由題意,如圖,可取AB中點(diǎn)為M,連接MF,ME,由于E為AD的中點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)
∴MFBCDE
∴四邊形MFDE是平行四邊形
∴DF∥ME,又MF?平面ABE,F(xiàn)D?平面ABE
∴FD∥平面ABE
(2)在矩形ABCD中,連接AC交BE于G,則

,又AB=6,BC=
∴AC=6,BE=3
∴AG=2,GC=4在圖二中作G′H⊥AB于H,連CH,
∵CG⊥BE,所以平面ABE⊥平面BCDE,
∴CG⊥平面ABE,
∵GH⊥AB,由三垂線定理知GH⊥AB,
∴∠GHC是二面角E-AB-C的平面角,
∵GH×AB=AG×BG,GB=2
∴GH===2,
∵tan∠CHG==
∴cos∠CHG=
即二面角E-AB-C的余弦值為
點(diǎn)評(píng):本題考查了二面角的求法,線面平行的證明,是立體幾何中?嫉念}型,解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角平面角的作法與線面平行的判定定理,本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想與推理證明的能力,是高考中?嫉念}型,難度較大,熟練掌握相關(guān)方法與技巧是解題的關(guān)鍵
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3
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AP
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(2013•臨沂二模)如圖,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O為CD的中點(diǎn),沿AO將三角形AOD折起,使DB=
3

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(Ⅱ)求直線BC與平面ABD所成角的正弦值.

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已知矩形ABCD中,AB=6,BC=6
2
,E為AD的中點(diǎn)(圖一).沿BE將△ABE折起,使平面ABE⊥平面BECD(圖二),且F為AC的中點(diǎn).
(1)求證:FD∥平面ABE;
(2)求證:AC⊥BE.

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