Question

在數(shù)l和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=tana_n•tana_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)先求出T_n，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1），先求出b_n的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列b_n的特點(diǎn)，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）數(shù)l和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，構(gòu)成等比數(shù)列為{c_n}，則c₁=1，c_n+2=100，所以數(shù)列{c_n}是以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，Tn=c1?c2?…?cn+2=(c1??cn+2)

n+2

2

=100

n+2

2

=10n+2，
所以a_n=lgT_n=n+2，n≥1．
（2）b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=1-tan（-n-2）•tan（n+3）-1
=[tan（-n-2）+tan（n+3）]÷tan（-n-2+n+3）-1═[tan（n+3）-tan（n+2）]-1，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n
=[（tan4-tan3）+（tan5-tan4）+…+（tan（n+3）-tan（n+2）]-n
=[tan（n+3）-tan3]-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，其中根據(jù)已知求出這n+2項(xiàng)的幾何平均數(shù)為10，是解答本題的關(guān)鍵．