Question

已知函數(shù)f（x）=

f′(1)

e

•ex-f(0)•x+

1

2

x2（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間
（2）若函數(shù)g（x）=

1

2

x2+a與函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入解析式求出f（0），再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），把x=1代入f′（x）求出f′（1），再求出f（0），代入解析式即求出f（x）的解析式，再由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0解集，即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將條件轉(zhuǎn)化為：e^x-x-a=0在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的根，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-x-a，再求出導(dǎo)數(shù)并判斷出在[-1，2]上的單調(diào)性，再列出不等式組求解即可．

解答：解：（1）由題意得，f（0）=

f′(1)

e

•e0=

f′(1)

e

，
且f′（x）=

f′(1)

e

•ex-f(0)+x=

f′(1)

e

•ex-

f′(1)

e

+x，
∴f′（1）=

f′(1)

e

•e -

f′(1)

e

+1，解得f′（1）=e，且f（0）=1，
故f（x）=ex-x+

1

2

x2，
∴f′（x）=e^x-1+x，
又∵f′（x）=e^x-1+x在R上遞增，且f′（0）=0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-∞，0），
（2）由題意得，g（x）與函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則

1

2

x2+a=ex-x+

1

2

x2在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的根，
即e^x-x-a=0在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的根，
設(shè)h（x）=e^x-x-a，則h′（x）=e^x-1，
令h′（x）=e^x-1=0得，x=0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在[-1，0]上遞減，在（0，2]上遞增，
∵e^x-x-a=0在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的根，
∴

h(0)＜0 h(-1)＞0 h(2)＞0

，即

1-a＜0 e-1+1-a＞0 e2-2-a＞0

，
解得1＜a＜1+

1

e

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，1+

1

e

）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性，方程根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法．