Question

（2010•九江二模）已知函數(shù)f(x)=sin(

π

4

x-

π

6

)-2cos2

π

8

x+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程4f2(x)-mf(x)+1=0在x∈(

4

3

，4)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用查兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為

3

sin(

π

4

x-

π

3

），由此求出函數(shù)的最小正周期，由2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范圍，即得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）設(shè)t=f（x），根據(jù)x的范圍求出f（x）∈（0，

3

]，由題意可得方程4t²-mt+1=0在t∈（0，

3

]內(nèi)有實(shí)數(shù)解，由基本不等式求得m 的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=sin（

π

4

x-

π

6

)-2cos2

π

8

x+1=sin

π

4

•cos

π

6

-cos

π

4

x•sin

π

6

-cos

π

4

x=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin(

π

4

x-

π

3

）…（3分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為8．   …（4分）
令2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得 8k-

2

3

≤x≤8k+

10

3

，k∈z，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[8k-

2

3

，8k+

10

3

]，k∈Z…（6分）
（2）設(shè)t=f（x），∵x∈（

4

3

，4），∴

π

4

x-

π

3

∈(0，

2

3

π），∴f（x）∈（0，

3

]，
∴方程4t²-mt+1=0在t∈（0，

3

]內(nèi)有實(shí)數(shù)解，即當(dāng)t∈（0，

3

]時方程有實(shí)數(shù)解．  …（10分）
∵4t+

1

t

≥4當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

2

時取等號，∴m≥4，…（8分） 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）． …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．