Question

設(shè)一個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為α，相鄰兩個側(cè)面所成的角為β，那么兩個角α和β的三角函數(shù)間的關(guān)系是（　　）

A．2cos²α+3cosβ=1

B．2cosα+3cos²β=1

C．3cos²α+2cosβ=1

D．3cosα+2cos²β=1

Answer 1

分析：由題設(shè)條件及四個選項可以得出需要先做出兩個二面角，再由題設(shè)中的等量關(guān)系建立方程研究兩個二面角的關(guān)系，由圖形及題設(shè)條件知在如圖圖形中作SD⊥BC，連接AD，作SH⊥AD，則SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，連接CE，則CE⊥SA，∠BEC是二側(cè)面成角的平面角，觀察三角形BEC，可將此三角形的邊用要研究的角α，β表示出來，在此三角形中利用余弦定理得到方程，整理出選項．

解答：解：設(shè)正三棱錐S-ABC，側(cè)面與底面所成的角為α，相鄰兩個側(cè)面所成的角為β，作SD⊥BC，連接AD，作SH⊥AD，則SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，連接CE，則CE⊥SA，∠BEC是二側(cè)面成角的平面角，
設(shè)AB=BC=AC=1個單位，
AD=

3

2

，HD=

3

2 3

=

3

6

，AH=

3

3

，

SD

HD

=cosα，SD=

3

6cosα

，SH=

3? tanα

6

，
SA=

SH2+AH2

=

tan2α 12 + 1 3

=

3tan2α+12

6

，
又BE×SA×

1

2

=SD×AB×

1

2

=S_△SAB，
∴BE=

SD×AB

SA

=

3 6cosα

3tan2α+12 6

=

1

1+3cos2α

在三角形EBC中根據(jù)余弦定理，
BC²=BE²+EC²-2×BE×EC×cosβ，
1=

1

1+3cos2α

+

1

1+3cos2α

-2×

1

1+3cos2α

×cosβ，
經(jīng)整理得：3cos²α+2cosβ=1，
故選C

點評：本題考查二面角的平面角及求法，由于本題是要研究兩個二面角有關(guān)的方程問題，從題設(shè)條件中找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題中用余弦定理建立起等式，整理出答案，本題中熟練掌握二面角平面角的作法也很關(guān)鍵，本題考查了推理論證能力及空間想像感知能力，且與余弦定理想結(jié)合，綜合性較強，有一定的思維深度，運算量較大易因為計算出錯或因為找不到等量關(guān)系而賣到解題無法下手．