Question

9．用三種顏色給立方體的八個頂點染色，其中至少有一種顏色恰好染四個頂點．則任一條棱的兩個端點都不同色的概率是$\frac{1}{35}$．

Answer 1

分析 先求出當其中一種顏色染4個頂點時，其余兩種顏色可任意染色剩余的4個頂點染色方法有${C}_{3}^{1}•{C}_{8}^{4}•（{C}_{4}^{0}+{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{3}）$種，任一條棱的兩個端點都不同色的染法有${C}_{3}^{1}•2•（{C}_{4}^{0}+{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{3}）$種，由此能求出任一條棱的兩個端點都不同色的概率．

解答 解：當其中一種顏色染4個頂點時，其余兩種顏色可任意染色剩余的4個頂點，
于是滿足要求的染色方法有：
${C}_{3}^{1}•{C}_{8}^{4}•（{C}_{4}^{0}+{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{3}）$=3×70×15（種），
若要求任一棱的兩個端點都不同色，則一種顏色染4個頂點的染法只有2種，
此時其余兩種顏色仍可任意染色剩余的4個頂點，
于是任一條棱的兩個端點都不同色的染法有：
${C}_{3}^{1}•2•（{C}_{4}^{0}+{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{3}）$=6×15（種），
∴任一條棱的兩個端點都不同色的概率p=$\frac{6×15}{3×70×15}$=$\frac{1}{35}$．
故答案為：$\frac{1}{35}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．