Question

一數列{a_n}的前n項的平均數為n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設，證明數列{b_n}是遞增數列；
（3）設，是否存在最大的數M？當x≤M時，對于一切非零自然數n，都有f（x）≤0．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平均數的意義和當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）作差b_n+1-b_n，證明其大于0即可；
（3）利用（2）遞增，因此有最小值．解出，即可知道是否存在最大的數M．
解答：解：（1）由題意可得，∴，
當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當n=1時也成立．故a_n=2n-1．
（2）作差b_n+1-b_n====，
∴b_n+1＞b_n對于任意正整數n都成立，因此數列{b_n}是遞增數列．
（3）∵遞增，∴有最小值，
∴，解得x²-4x+1≥0，．
所以M=．
存在最大的數M=，當x≤M時，對于一切非零自然數n，都有f（x）≤0．
點評：熟練掌握數列的通項公式與其前n項和之間的關系、作差法比較數的大小、一元二次不等式的解法及其轉化法等是解題的關鍵．