Question

（2013•陜西）已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積以及二倍角的正弦函數(shù)兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過周期公式，求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 通過x在[0，

π

2

]，求出f（x）的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求解所求函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=（cosx，-

1

2

）•（

3

sinx，cos2x）
=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

）
最小正周期為：T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
由正弦函數(shù)y=sinx在[-

π

6

，

5π

6

]的性質(zhì)可知，sinx∈[-

1

2

，1]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-

1

2

，1]，
所以函數(shù)f （x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值分別為：1，-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積以及兩角和的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．