Question

若函數f（x）在定義域D內某區(qū)間I上是增函數，而在I上是減函數，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常數，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函數，求θ、b應滿足的條件；
（2）當cotθ≥1時，f（x）在（0，1]上是“弱增函數”，求實數b的范圍．
（3）當cotθ≥1時，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數”，求實數b的范圍．

Answer 1

解：（1）若f（x）是偶函數，則f（x）=f（-x），
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b對任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，∴若f（x）是偶函數，則，
（2）當cotθ≥1時，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的對稱軸是
∴f（x）在（0，1]上是增函數，
考察函數，
當，即b≥1時，設0＜x₁＜x₂≤1，則
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴
即g（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）在（0，1]上是“弱增函數”；
綜上所述，b≥1時，f（x）在（0，1]上是“弱增函數”；
（3）當，即0＜b＜1時，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是單調函數，
∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函數”．
綜上所述0＜b＜1時，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數”
分析：（1）利用偶函數的定義，可得x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b對任意x∈R恒成立，由此可求θ、b應滿足的條件；
（2）確定f（x）在（0，1]上是增函數，考察函數，g（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）在（0，1]上是“弱增函數”，由此可得結論；
（3）結合（2），利用新定義，即可求實數b的范圍．
點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確運用新定義是關鍵．