Question

已知點A（-1，0），B（1，0），直線AM和BM相交于點M，并且它們的斜率乘積為m（m≠0），
（1）求點M軌跡方程
（2）討論點M軌跡是什么曲線？

Answer 1

分析：（1）設出點M的坐標，由兩點式寫出直線AM和BM的斜率，由斜率乘積為m整理得到點M軌跡方程；
（2）因為m≠0，分-1＜m＜0，m=-1，m＜-1和m＞0四種情況討論點M的軌跡情況．

解答：解：（1）設M（x，y），由題設知直線AM與BM的斜率存在且均不為零，
所以kAM•kBM=

y

x+1

•

y

x-1

=m，
整理得x2-

y2

m

=1（x≠±1）；
（2）①當-1＜m＜0時，M軌跡為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）
②當m=-1時，M軌跡為以原點為圓心，1的半徑的圓，除去點（-1，0），（1，0）
③當m＜-1時，M軌跡為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）
④當m＞0時，M軌跡為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線（除去雙曲線的兩個頂點）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，求軌跡方程問題，雖然省略了證明的步驟，但對一些特殊位置一定要謹慎對待，考查了分類討論的數(shù)學思想，是中檔題．