Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=3-

a

x

（a為常數）
（1）當a=1時，求函數φ（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[1，2]上有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時，表示出φ（x），求導數，在定義域內解不等式φ′（x）＜0，φ′（x）＞0即可；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化為a=-x³+3x，令h（x）=-x³+3x，則問題轉化為求函數h（x）的值域問題；

解答：解：（1）a=1時，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-3+

1

x

（x＞0），
φ′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當0＜x＜1時，φ′（x）＜0，φ（x）單調遞減，當x＞1時，φ′（x）＞0，φ（x）單調遞增，
所以φ（x）的單調減區(qū)間為（0，1），單調增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）e^2f（x）=g（x），即e^2lnx=3-

a

x

，x²=3-

a

x

，則a=-x³+3x，
令h（x）=-x³+3x，則h′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
當x∈[1，2]時，h′（x）＜0，故h（x）在[1，2]上單調遞減，
所以h（2）≤h（x）≤h（1），即-2≤h（x）≤2，
所以要使方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[1，2]上有解，須有a∈[-2，2]．
故實數a的取值范圍為[-2，2]．

點評：本題考查利用導數判斷函數的單調性及函數最值的求解，準確求導，熟練計算是判斷單調性的基礎，本題（2）問的解決關鍵是把方程解的問題轉化為函數值域問題．