Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的點(diǎn)，且的最大面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若直線是過點(diǎn)點(diǎn)的直線，且與橢圓交于不同的點(diǎn)、，是否存在直線使得點(diǎn)、到直線，的距離、，滿足恒成立，若存在，求的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出有關(guān)、、的方程組，求出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由，得出，通過化簡計(jì)算并代入韋達(dá)定理計(jì)算出的值，即可得出直線的方程，即可說明直線的存在性.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，且的最大面積為，則，

由已知條件得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去并整理得，

，

由韋達(dá)定理得，.

，即，即，

整理得；

當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則直線與橢圓的交點(diǎn)為左、右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，

，，由，得，解得.

綜上所述，存在直線，使得.