定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)求關(guān)于x的不等式4x-2x+3+7<0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度;
(2)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)已知關(guān)于x的不等式sinxcosx+
3
cos2
x+b>0,x∈[0,π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
π
3
,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:(1)直接求解不等式得到x的取值集合,則答案可求;
(2)由關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,得到二次不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根的差的絕對(duì)值,平方后代入根與系數(shù)關(guān)系可求解a的值;
(3)把三角不等式的左側(cè)化簡,然后得到一個(gè)簡單的三角不等式,由一個(gè)周期內(nèi)的區(qū)間長度為
π
3
可得b的取值范圍.
解答:解:(1)由4x-2x+3+7<0,得(2x2-8•2x+7<0,解得1<2x<7,所以0<x<log27.
所以不等式4x-2x+3+7<0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為log27;
(2)關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6

x2-x1=
6
,即(x1+x2)2-4x1x2=6,所以(
6
a
)2-4(-
3
2a
)=6

解得a=-2或a=3(舍)
∴關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
的實(shí)數(shù)a的值為-2;
(3)因?yàn)閟inxcosx+
3
cos2
x+b=sin(2x+
π
3
)+
3
2
+b

設(shè)f(x)=sin(2x+
π
3
)
,
原不等式等價(jià)于“f(x)>-
3
2
-b
,x∈[0,π]”,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π,[0,π]的長度恰為函數(shù)的一個(gè)正周期,
所以當(dāng)-
3
2
-b<
1
2
時(shí),f(x)>-
3
2
-b
,x∈[0,π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
π
3
,
即b的取值范圍為(-
1+
3
2
,+∞
).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查不等式的解法.其中第一、二問涉及到一元二次不等式的解法,一元二次不等式的解集由開口方向和對(duì)應(yīng)方程的根二者決定.開口向上大于0的解集在兩根的兩邊,小于0的解集在兩根中間;開口向下大于0的解集在兩根的中間,小于0的解集在兩根兩邊,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•上海模擬)定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)已知關(guān)于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x+b>0
,x∈[0,π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
π
3
,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)已知關(guān)于x的不等式組
7
x+1
>1 
log2x+log2(tx+3t)<2
的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)已知A={x|
7
x+1
>1},B={x|
x>0
tx+3t>0
tx2+3tx-4<0
,若A∩B構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)求不等式
2x-1
x+3
<1
的解集所構(gòu)成的區(qū)間的長度;
(2)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值.

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(2009•上海模擬)定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求關(guān)于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x>0
,x∈[0,2π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和;
(3)已知關(guān)于x的不等式組
6
x
>1 
log2x+log2(tx+3t)<2
的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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