求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件和必要條件均是m≥2．

答案：
解析：

　　證明：(1)充分性：因?yàn)閙≥2，所以△＝m2－4≥0．所以x2＋mx＋1＝0有實(shí)根，兩根設(shè)為x1、x2，由韋達(dá)定理，知x1x2＝1＞0，所以x1與x2同號(hào)．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1、x2同為負(fù)實(shí)數(shù)，即x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件是m≥2．

　　(2)必要性：因?yàn)閤2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根x1和x2，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝≥0．故m≥2，即x2＋mx＋1＝0有兩負(fù)實(shí)根的必要條件是m≥2．綜上，m≥2是x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．

　　解析：本題的條件是p：m≥2，結(jié)論是q：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，然后要明確充分性的證明是pq，必要性的證明是qp．


提示：

本題關(guān)鍵是分清命題的條件p，結(jié)論q分別表示什么，且分清“充分條件”和“必要條件”的不同．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

11、求證：關(guān)于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-（c+d）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

12、求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為-1的充要條件是a-b+c=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若對(duì)任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）≠f（x2），求證：關(guān)于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且必有一個(gè)根屬于（x1，x2）；
（2）若關(guān)于x的方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]在（x1，x2）的根為m，且x1，m-
1
2
，x2成等差數(shù)列，設(shè)函數(shù)f （x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=x0，求證：x0＜m2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州二模）設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
1
x2+a
．
（1）求證：關(guān)于x的方程f(x)=
1
x-1
沒有實(shí)數(shù)根；
（2）求函數(shù)g(x)=
1
3
ax3+ax+
1
f(x)
的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=f(xn)(n∈N*)，當(dāng)a=2且0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，證明：對(duì)任意m∈N*都有|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．

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