Question

15．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點(diǎn)為F，離心率為$\frac{1}{2}$，直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，△ABF的周長最大值為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)M（-4，0），求當(dāng)△ABF面積最大時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的定義，得a=2，又離心率為$\frac{1}{2}$，從而$c=1，b=\sqrt{3}$，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my-4，與橢圓方程聯(lián)立得（3m²+4）y²-24my+36=0．由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出直線AB的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的定義，得|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a，
而△ABF的周長為|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a，
當(dāng)且僅當(dāng)AB過點(diǎn)F′時(shí)，等號成立，
所以4a=8，即a=2，又離心率為$\frac{1}{2}$，所以$c=1，b=\sqrt{3}$，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my-4，與橢圓方程聯(lián)立得（3m²+4）y²-24my+36=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△=576m²-4×36（3m²+4）=144（m²-4）＞0，
且${y_1}+{y_2}=\frac{24m}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{36}{{3{m^2}+4}}$，所以${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}•3|{y_1}-{y_2}|=\frac{{18\sqrt{{m^2}-4}}}{{3{m^2}+4}}$②
令$t=\sqrt{{m^2}-4}（t＞0）$，則②式可化為${S_{△ABF}}=\frac{18t}{{3{t^2}+16}}=\frac{18}{{3t+\frac{16}{t}}}≤\frac{18}{{2\sqrt{3t•\frac{16}{t}}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$3t=\frac{16}{t}$，即$m=±\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$時(shí)，等號成立．
所以直線AB的方程為$x=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}y-4$或$x=-\frac{{2\sqrt{21}}}{3}y-4$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、直線、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．