Question

已知點A（1，0），拋物線x²=4y的焦點為F，射線FA與拋物線相交點M，與其準(zhǔn)線交于N，則|FM|：|MN|=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的方程算出焦點為F（0，1），從而得出直線AF的方程為y=-x+1．將直線AF方程與拋物線方程聯(lián)解，求出M的橫坐標(biāo)為-2+2

2

，再求出射線FA與拋物線的準(zhǔn)線相交于點N（2，-1），算出|FM|：|FN|=x_M：x_N=

2

-1，進(jìn)而可得|FM|：|MN|的值．

解答：解：∵拋物線x²=4y的焦點為F（0，1），
∴直線AF的斜率為k=

1-0

0-1

=-1，
可得直線AF的方程為y=-（x-1），即y=-x+1．
由

y=-x+1 x2=4y

消去y，得x²+4x-4=0，解得x=-2±2

2

．
∵射線FA與拋物線相交點M，∴M的橫坐標(biāo)為x_M=-2+2

2

，
又∵拋物線x²=4y的準(zhǔn)線為y=-1，
∴聯(lián)解

y=-x+1 y=-1

，得

x=2 y=-1

，所以射線FA與拋物線的準(zhǔn)線相交于點N（2，-1），
由此可得|FM|：|FN|=x_M：x_N=（-2+2

2

）：2=

2

-1，
∴|FM|=（

2

-1）|FN|，|FN|=（

2

+1）|FM|，
可得|MN|=|FN|-|FM|=

2

|MN|，所以|FM|：|MN|=

2

2

．
故答案為：

2

2

點評：本題在拋物線中求有關(guān)線段的比值，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．