Question

11．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，M、N、P分別是BB₁、A₁C₁、B₁C₁的中點．
（1）求證：CB₁⊥平面ABC₁；
（2）求證：面MNP∥面ABC₁．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出BC⊥AB，B₁C⊥BC₁，由此能證明CB₁⊥平面ABC₁．
（2）由三角形中位線定理得PM∥BC₁，PN∥A₁B₁，從而PN∥AB，由此能證明面MNP∥面ABC₁．

解答 證明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，
∴BC⊥AB，四邊形BCC₁B₁是正方形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴CB₁⊥平面ABC₁．
（2）∵M、N、P分別是BB₁、A₁C₁、B₁C₁的中點，
∴PM∥BC₁，PN∥A₁B₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，∴PN∥AB，
∵PN∩PM=P，AB∩BC₁=B，
PN，PM?平面PMN，AB，BC₁?面ABC₁，
∴面MNP∥面ABC₁．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查面面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．