Question

已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)；

（1）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）已知不等式對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)； 

（2）

【解析】

試題分析：(1) 當(dāng)時(shí)，，

由 得  

范圍		1		2
	+	0	-	0	+
	遞增	取極大值	遞減	取極小值	遞增

由上表知：，                             …4分

故 當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；                                            …7分

（2）解法一：由題意知：對任意都成立

即對任意都成立，

設(shè)（），則對任意，為單增函數(shù)，

所以對任意，恒成立的充要條件是

即            

于是的取值范圍是                                                     …15分

解法二：由題意知：對任意都成立

即對任意都成立，

于是對任意都成立，即，

于是的取值范圍是                                                     …15分

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和恒成立問題的求解.

點(diǎn)評：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這就要求考查函數(shù)的單調(diào)性、最值等，要結(jié)合函數(shù)的圖象解決問題，而恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為最值問題解決.