Question

在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，DB＝BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB₁上一點(diǎn)．

(1)求證：B₁D₁∥平面A₁BD；
(2)求證：MD⊥AC；
(3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.

Answer 1

(1)見(jiàn)解析. (2)見(jiàn)解析.(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB₁的中點(diǎn)時(shí)，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.

試題分析：(1)由直四棱柱概念，得BB₁//DD₁，
得到四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，從而B(niǎo)₁D₁∥BD，由直線與平面平行的判定定理即得證.
(2)注意到BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，推出BB₁⊥AC.
又BD⊥AC，即得AC⊥平面BB₁D₁D.而MD?平面BB₁D₁D，故得證.
(3)分析預(yù)見(jiàn)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB₁的中點(diǎn)時(shí)，符合題意.此時(shí)取DC的中點(diǎn)N，D₁C₁的中點(diǎn)N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM，證得BN⊥DC.又DC是平面ABCD與平面DCC₁D₁的交線，而平面ABCD⊥平面DCC₁D₁，推出BN⊥平面DCC₁D₁.又可證得，O是NN₁的中點(diǎn)，由四邊形BMON是平行四邊形，得出OM⊥平面CC₁D₁D，得證.
試題解析：(1)由直四棱柱概念，得BB₁//DD₁，
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，∴B₁D₁∥BD.
而B(niǎo)D?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，∴B₁D₁∥平面A₁BD.
(2)∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB₁⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB₁＝B，∴AC⊥平面BB₁D₁D.
而MD?平面BB₁D₁D，∴MD⊥AC.

(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB₁的中點(diǎn)時(shí)，取DC的中點(diǎn)N，D₁C₁的中點(diǎn)N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM，如圖所示．
∵N是DC的中點(diǎn)，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC₁D₁的交線，而平面ABCD⊥平面DCC₁D₁，∴BN⊥平面DCC₁D₁.
又可證得，O是NN₁的中點(diǎn)，∴BM∥ON且BM=ON，即四邊形BMON是平行四邊形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC₁D₁D，因?yàn)镺M?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.