Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．
（1）求直線BC₁和B₁D₁所成角的大小；
（2）求直線BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）以D為坐標原點，直線DA、DC、DD₁分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，分別求出直線BC₁和B₁D₁的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出直線BC₁和B₁D₁所成角的大��；
（2）結合（1）的結論，再求出平面B₁D₁DB的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大�。�

解答：解：（1）如圖，以D為坐標原點，直線DA、DC、DD₁分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
則D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），

B1D1

=(-1， -1，0)，

BC1

=(-1， 0，1)．…（3分）
因為 cos?

B1D1

，

BC1

＞=

B1D1 • BC1

| B1D1 || BC1 |

=

1

2

，…（5分）
所以直線BC₁和B₁D₁所成角的大小為60°．…（6分）
（2）連接A₁C₁，記A₁C₁∩B₁D₁=O，連接OB．
因為A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁B，
所以A₁C₁⊥平面B₁D₁DB，
從而∠OBC₁是直線BC₁與平面B₁D₁DB所成的角．…（9分）
易知O(

1

2

，

1

2

，1)，從而

BO

=(-

1

2

，-

1

2

，1)，
因為 cos?

BO

，

BC1

＞=

B1O • BC1

| B1O || BC1 |

=

3

2

，
所以直線BC₁與平面B₁D₁DB所成角的大小是30°．…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，在使用向量法解答線線夾角及線面夾角，關鍵是建立恰當?shù)目臻g坐標系，將線面夾角，線線夾角問題轉化為向量夾角問題．