Question

2．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為 12，則$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{49}{6}$
• B． $\frac{25}{6}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)可得6a+8b=12，即$\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=1$．然后利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式求得最值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（6，8），
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當(dāng)直線為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為6a+8b=12．
∴$\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=1$．
則$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{3}{a}+\frac{4}$）（$\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}$）=$\frac{3}{2}+\frac{8}{3}+\frac{2a}+\frac{2b}{a}$$≥\frac{3}{2}+\frac{8}{3}+4=\frac{49}{6}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{6}{7}$時(shí)上式等號(hào)成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．