Question

8．已知橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且橢圓上的點到其中一個焦點最大距離為2+$\sqrt{3}$，拋物線C以原點為頂點，以橢圓與x軸正半軸的交點為焦點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（2，0），問：x軸上是否存在一定點P，使得對于拋物線C上的任意兩點A和B，當$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R）時，恒有點M到直線PA與PB的距離相等？若存在，則求點P的坐標，否則說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意的離心率公式，即可求得$\sqrt{3}$a=2c，且a+c=2+$\sqrt{3}$，即可求得a和c的值，則b²=a²-c²=1，求得橢圓方程，求得拋物線的焦點坐標，即可求得拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為：x=my+2，代入拋物線方程可得：y²-4my-8=0..由△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{丨PA丨}{丨PB丨}$，可得：PM平分∠APB，因此直線PA，PB的傾斜角互補，即k_PA+k_PB=0，利用斜率計算公式、根與系數(shù)的關系化簡即可得出．

解答 解：（1）橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），焦點在y軸上，
橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\sqrt{3}$a=2c，①
a+c=2+$\sqrt{3}$，②
解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
則拋物線的焦點坐標為（1，0），拋物線的方程為y²=4x，
∴拋物線的方程為y²=4x；
設動圓圓心的坐標為C（x，y），由題意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化為：y²=4x．
∴動圓圓心的軌跡方程為：y²=4x．
（Ⅱ）設P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三點共線．
設直線AB的方程為：x=my+2，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-8=0．
由M到PA的距離為d₁，由M到PB的距離為d₂，
S_MPA=$\frac{1}{2}$×丨PA丨×d₁，S_MPB=$\frac{1}{2}$×丨PB丨×d₂，
由M到直線PA與PB的距離相等，
則△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{丨PA丨}{丨PB丨}$，可得：PM平分∠APB，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8．由因此直線PA，PB的傾斜角互補，
∴k_PA+k_PB=0，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
把x₁=my₁+2，x₂=my₂+2，代入可得：$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-a）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-a）（m{y}_{2}+2-a）}$=0，
∴-16m+（2-a）×4m=0，化為：m（a+2）=0，由于對于任意m都成立，
∴a=-2．
故存在定點（-2，0），滿足條件．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．